PROBABİLİTE KANUNLARI
Çoklu probabilite
Elemanları bir çok karakteristiğe sahip bir yığın alalım.
Bu karakteristikler her elemana eşit dağılmamış olsun.
O halde
-her bir belirli karakter için,
- o yıgında o karakterde bir elemanla karşılaşmamız ihtimali:
-o karakteristiğin o yığındaki dağılım şekline göre bellidir.
Başlangıçtaki ihtimalin tanımı tek bir A özelligi için
P(A)=a/N şeklinde verilmiş idi.
Şimdilik A ve B gibi iki özellik (karakteristik-olayları) göz önüne alalım.
ORNEK:
52’lik bir deste iskambil kagıdından 1 tek kart çekiliyor.Bu kartın kırmızı veya yuksek(onar)
(10,J,Q,K,1) olması ihtimali nedir?
Çözüm:
1 destede 13 sinek (siyah)
1 destede 13 maça (siyah)
1 destede 13 kupa (kırmızı)
1 destede 13 karo (kırmızı)
Kagıt vardır.
K:kırmızı kart olayı ,
Y:yuksek kart olayı olsun.
Destede 26 kırmızı kart var.o halde,
P(K)=26/52=1/2
Dir.
Her onüçlük grupta 5 adet yüksek kart var.Toplam 20 yuksek kart var.O halde,
P(Y)=20/52
P(Y)=5/13 dur.
Kırmızı gerceklesmis oldugu hallerde yuksek kart gerceklesmesı ihtimali:
P(K∩Y)=P(K)*P(Y)
P(K∩Y)=20/52*1/2=10/52
P(K∩Y)=10/52 olur.
K ve Y olaylarından en az birinin gerceklesmesi ihtimalini
P(AUB)=P(A)+P(B)- P(A∩B)
Olarak bulunmustur.Çekilen kartın kırmızı veya yuksek olması ihtimali:
P(KUY)=P(K)+P(Y) -P(K∩Y)
dersek;
P(KUY)=1/2+5/13-10/52
P(KUY)=36/52 bulunur.
Ornek2: Yarısı kadınlardan diger yarısı erkeklerden olusan bir gruo insan gozönüne
alalım.Kadınların %20’si ve erkeklerin %60’ının hasta oldugunu varsayalım.Bu gruptan
tesadüfen secılen bir kisinin kadın veya hasta olma ihtimali nedir?
Çözüm:Gruptaki bütün insanların sayısı N olsun.K ‘kadın’ ve H’hasta’ olanları temsil etsin.
Erkeklerin ve kadınların sayıları ayrı ayrı N/2 oldugundan,
Hasta sayısı:
0,20(N/2)+0,60(N/2)=4N/10 bulunur.
(N’nin tamsayı ve her sahsın seçilme şansının aynı oldugunu varsayıyoruz)
Böylece;
P(K)=1/2, P(H)=4/10
P(H/K)=1/5
P(K⋂Y)=P(K).P(H/K)=1/2.1/5=1/10
değerini,
P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B)
Teoremini,
P(K⋃H)=P(K)+P(H)-P(K⋂H)
Şeklinde yazar ve yerine koyarsak;
P(K⋃H)=1/2+4/10-1/10=8/10 bulunur.
2.Çözüm Şekli:Grup toplam 100 kişi kadın sayısı=50 erkek sayısı=50 olsun.Hasta kadın sayısı
%20 yani 10 ve hasta erkek sayısı %60 yani 30 kişidir.
1)K ve H’nin beraberce gerceklesme hal sayısı=n1
2)K gercekleşsin H gercekleşmesin hal sayısı =n2
3)H gercekleşsin K gercekleşmesin hal sayısı =n3
4)K ve H’nın gecekleşmedigi hal sayısı =n4
n1=50*(20/100)=10 hasta kadın sayısı
n2=50*(80/100)=40 saglam kadın sayısı
n3=40-10=30 hasta erkekler
n4=50-30=20 saglam erkekler(K yok,H yok)
K ve H’nın beraberce gerceklesme ihtimali;
P(K.H)= P(K⋂H)
Şöyle hesaplanıyordu:
P(K⋂H)=n1/n=10/100=1/10
(Hasta ve Kadın)
K’nın gerceklestıgı hallerde H’nin gerceklesmesi ihtimali (şartlı ihtimal):
P(H/K)=n1/(n1+n2)=10/(10+40)=1/5
P(H.K)=P(K).P(H/K)
P(H/K)=1/2.1/5=1/10
(Hasta ve Kadın)
Problemlerde,4. Durumdaki H ve K gerceklesmıyor.1,2 ve 3 .durumlarda K veya H gerceklesıyor.O halde;
P(K+H)=(n1+n2+n3)/n
P(K+H)=(10+40+30)/100=8/10 bulunur.
Eger (9) bagıntısını A,B,C olayları için yazarsak;
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A.B)-P(A.C)-P(B.C)
Eger A,B,C birbirinden bagımsız iseler:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A).P(B)-P(A).P(C)-P(B).P(C)+P(A).P(B).P(C)
Formulu elde edilir.
Bagıntıyı genel yazarsak;
Bu formulde P(A1+A2+…………+Ak) ifadesi A1,A2,……….,Ak olaylarından en az birinin gercekleşmesi ihtimali anlamındadır.
Eger A ve B olayları beraberce gerceklesmıyorsa (9) formulunde
P(A.B)=0 olur ve
P(A+B)=P(A)+P(B) olur…………………..(13)
Genel olarak A1,A2,…….,Ak olayları aralarında bir anda
gercekleşmiyorsa,
P(A1+A2+…………………….Ak)=P(A1)+P(A2)+……………P(Ak)………………(14) formulu ile elde edilir
ORNEK:3 avcı 3 tavsana aynı anda birer atış yapıyorlar.Birinci avcını vurus
ihtimali;P(V1)=1/2,ikincinin;P(V2)=1/3,üçüncünü;P(V3)=1/4 olsun.Tavsanın vurulması
ihtimali nedir?
Çözüm:
Birinci avcının karavana atış ihtimali:P(K1)=1/2
İkinci avcının karavana atış ihtimali:P(K2)=2/3
Üçüncü avcının karavana atış ihtimali:P(K3)=3/4
3 avcının berabarce karavana atıs yapma ihtimali;
P(K)=P(K1.K2.K3)= P(K1).P(K2).P(K3)
P(K)=1/2*2/3*3/4=1/4;
O halde vuruş ihtimali:
P(V)=1-1/4=3/4 olur.
